Matematika irĂĄnt akĂĄr mĂ©g csak felszĂ­nesen is Ă©rdeklƑdni, sƑt: pusztĂĄn a matematika Ă©rettsĂ©gi követelmĂ©nyeiben szereplƑ ismeretekkel mĂ©g 30 fölött is magabiztosan rendelkezni olyan bĂ©lyeg, amelyhez kĂ©pest balkezes, homoszexuĂĄlis zsidĂłnƑkĂ©nt Ă©lni 1483-ban CordĂłbĂĄban felszabadĂ­tĂł Ă©letĂ©rzĂ©s lehetett. PlĂĄne ha logaritmus.

SzakmĂĄmbĂłl adĂłdĂłan volt szerencsĂ©m nagyszĂĄmĂș Ă©lmĂ©nnyel gazdagodni a szĂłrakozĂłhelyek zajszintmĂ©rĂ©sĂ©nek tĂ©makörĂ©ben. Magabiztosan ĂĄllĂ­thatom, hogy az egybenyakĂș, klubtulajdonos ogrĂ©k vilĂĄgĂĄban elƑbb juthatsz dƱlƑre a rĂ©makiemelƑ partikulĂĄk köznyelvi alkalmazĂĄsĂĄnak indokoltsĂĄgĂĄrĂłl folytatott vitĂĄban, mint annak megĂ©rtetĂ©sĂ©ben, hogy ha 70 dB (decibel) helyett 75 dB a zajszint, az nem analĂłg a köcsögmerci 10%-on belĂŒli sebessĂ©gtĂșllĂ©pĂ©sĂ©nek esetĂ©vel. A decibel-skĂĄla ugyanis egy nemlineĂĄris, azon belĂŒl is logaritmikus skĂĄla.

Oszt akkor mi a tosz van? Mondom, Ă©s nem leszek bonyolult.

ElƑször is, a logaritmikus skĂĄlĂĄk szokatlanok, mert ritkĂĄk: az ĂĄtlagpolgĂĄr nagyjĂĄbĂłl hĂĄrom ilyet ismerhet, de valĂłszĂ­nƱleg egyikrƑl sem tudja, hogy ebbe a csoportba tartozik. A zajszintre vonatkozĂł decibel-skĂĄla mellett logaritmikus lĂ©ptĂ©kƱ a savassĂĄg-lĂșgossĂĄg jellemzĂ©sĂ©re szolgĂĄlĂł pH-skĂĄla, valamint a földrengĂ©sek erƑssĂ©gnek meghatĂĄrozĂĄsĂĄhoz kidolgozott Richter-skĂĄla is. Mivel ez utĂłbbi a legtisztĂĄbban megjelenƑ logaritmikus skĂĄla, ezt is felhasznĂĄlom a pĂ©ldĂĄkban.

A hagyomĂĄnyos (lineĂĄris) skĂĄlĂĄk mĂĄr csak olyanok, hogy az Ă©rtĂ©kek (szĂĄmok) közötti összefĂŒggĂ©sek, arĂĄnyok többnyire megfelelnek a szĂĄmok közti arĂĄnyoknak. Így pĂ©ldĂĄul a mĂ©rlegen 75 kilogrammot nyomĂł test tömege Ă©ppen fele annyi, mint a mĂ©rlegen kĂ©tszer ekkora szĂĄmmal megjelenƑ, 150 kg-os egyednek. A 220 Volt feszĂŒltsĂ©g kĂ©tszer akkora, mint a 110 Volt feszĂŒltsĂ©g, Ă©s a 80 km/h sebessĂ©get 10%-kal meghaladĂł sebessĂ©g bizony pont 88 km/h. MondhatnĂĄnk, hogy ez a normĂĄlis. MondhatnĂĄm, hogy többnyire. A zajszinteknĂ©l azonban, ha ilyen skĂĄlĂĄt akarnĂĄnk bevezetni, elĂ©g komoly problĂ©mĂĄba ĂŒtköznĂ©nk. A fĂŒlĂŒnk igencsak Ă©rzĂ©keny jĂłszĂĄg. nem belebonyolĂłdva a kĂŒlönbözƑ frekvenciĂĄkon eltĂ©rƑ Ă©rzĂ©kenysĂ©g tĂ©makörĂ©be, egyszerƱen csak mondjuk ki, hogy az Ă©ppen mĂ©g meghallhatĂł zaj szintje (ezt szoktĂĄk a lehullĂł falevĂ©l neszĂ©nek nevezni) a hanghullĂĄm (lökĂ©shullĂĄm) teljesĂ­tmĂ©nyĂ©vel jellemezhetƑ (lehetne mĂĄssal is, de nem bonyolĂ­tjuk), Ă©s az Ă©rtĂ©ke 10-12 W, azaz ezermilliĂĄrdod Watt. Az a zajszint, ami beszakĂ­tja a dobhĂĄrtyĂĄnkat, valahol az 1000-10.000 W környĂ©kĂ©n mozog. Hogy megĂ©rtsĂŒk, ez miĂ©rt okoz gondot a lineĂĄris skĂĄlĂĄnak, gondoljunk a hƑmĂ©rƑkre. A hagyomĂĄnyos szobai hƑmĂ©rƑ -25 Ă©s +40 fok között kĂ©pes 1 fok pontossĂĄggal mĂ©rni a hƑmĂ©rsĂ©kletet. A lĂĄzmĂ©rƑ 0,1 fok pontossĂĄgĂș, de a mĂ©rĂ©si tartomĂĄnya a 35 Ă©s a 42 fok közĂ© esik. ÁltalĂĄban is igaz, hogy egy lineĂĄrisan skĂĄlĂĄzott mĂ©rƑmƱszer (tĂĄgabb Ă©rtelemben: mĂ©rtĂ©kegysĂ©g-skĂĄla) minĂ©l nagyobb tartomĂĄnyban mĂ©r, annĂĄl kisebb a pontossĂĄga, Ă©s fordĂ­tva. A zajszintek mĂ©rĂ©sĂ©nĂ©l egyszerre kell nagy tartomĂĄnyt ĂĄtfogni (emlĂ©kezzĂŒnk: 10.000 W a felsƑ hatĂĄr), miközben nagyon finom kĂŒlönbsĂ©geket is tudnunk kell mĂ©rni (emlĂ©kezzĂŒnk: ezermilliĂĄrdod W kĂŒlönbsĂ©get a fĂŒlĂŒnk mĂĄr Ă©rzĂ©kel).

Tehåt a probléma adott.

A vĂĄlasz pedig a nemlineĂĄris skĂĄlĂĄkban rejlik. AnĂ©lkĂŒl, hogy a logaritmus mint matematikai mƱvelet mĂ©lysĂ©geibe belemennĂ©nk, elĂ©gedjĂŒnk meg annyival, hogy a logaritmus a hatvĂĄnyozĂĄs megfordĂ­tĂĄsa (mint a gyökvonĂĄs), Ă©s semmi mĂĄsra nem keresi a vĂĄlaszt, mint hogy egy adott szĂĄm egy mĂĄsik szĂĄmnak hĂĄnyadik hatvĂĄnya. Azaz a 100 tĂ­zes alapĂș logaritmusa AZÉRT kettƑ, mert 10-nek a MÁSODIK hatvĂĄnya a szĂĄz. Egy logaritmikus skĂĄlĂĄn tehĂĄt kĂ©t szomszĂ©dos Ă©rtĂ©k azt jelenti, hogy Ƒk az alap (pl. a tĂ­zes szĂĄm) kĂ©t szomszĂ©dos hatvĂĄnya. MĂ©g egyszerƱbben: a logaritmikus szĂĄmegyenesen az egyenlƑ osztĂĄsonkĂ©nt megjelenƑ 0, 1, 2, 3 szĂĄmok jelentĂ©se: 10 a nulladikon (=1), tĂ­z az elsƑn (=10) tĂ­z a mĂĄsodikon (=100), tĂ­z a harmadikon (=1000), Ă©s Ă­gy tovĂĄbb. A pĂ©ldakĂ©nt hozott Richter-skĂĄlĂĄn a kettes erejƱ földrengĂ©shez kĂ©pest a hĂĄrmas erejƱ az pont tĂ­zszer pusztĂ­tĂłbb. A hĂĄrmashoz kĂ©pest a nĂ©gyes megint tĂ­zszer pusztĂ­tĂłbb. EbbƑl az is kijön, hogy a ketteshez kĂ©pest a nĂ©gyes szĂĄzszor pusztĂ­tĂłbb. Ha nem tudunk logaritmust szĂĄmolni, akkor csak fogadjuk el, hogy a törteknek ugyanĂ­gy van meghatĂĄrozott szorzóértĂ©ke. BĂĄrmilyen kiindulĂĄsi Ă©rtĂ©khez kĂ©pest a kĂ©tszer akkora kb. 0,3-del kap nagyobb Ă©rtĂ©ket. Egy hĂĄrmas földrengĂ©st megduplĂĄzva egy 3,3-as földrengĂ©st kapunk. ezt mĂ©g egyszer megduplĂĄzva egy 3,6-os földrengĂ©st, Ă©s Ă­gy tovĂĄbb.

Ezzel mĂĄr nagyon közel kerĂŒltĂŒnk a decibel-rejtĂ©ly megĂ©rtĂ©sĂ©hez, ott csak annyival bonyolultabb ez a dolog, hogy minden ilyen hatvĂĄnyt mĂ©g meg is szorzunk tĂ­zzel, hogy ne legyenek tört Ă©rtĂ©kek, kb. mintha a Richter-skĂĄlĂĄn a 3,4-es 4,7-es 6-os földrengĂ©s helyett azt mondanĂĄnk mindig, hogy 34-es, 47-es, 60-as földrengĂ©s. Akkor most mennyi is az annyi?

ElƑször is meg kell Ă©rteni, hogy az ilyen skĂĄlĂĄknĂĄl a nulla mĂĄs Ă©rtelmet kap. Mivel a nulla Ă©rtĂ©k jelentĂ©se 10 a nulladikon, ezĂ©rt a 0 decibel nem a csöndet jelenti (Ă©s egybƑl Ă©rtelmet nyer az is, mit jelent az equalizeren a -20 dB.), hanem egy önkĂ©nyesen kivĂĄlasztott viszonyĂ­tĂĄsi alapot, amihez kĂ©pest bĂĄrmilyen Ă©rtĂ©k egy szorzĂłszĂĄmot jelent. Megint csak, ha nem tudunk logaritmust szĂĄmolni, egyszerƱen fogadjuk el, hogy az eddigiek alapjĂĄn ez Ă­gy alakul:

2X zajszint = +3 dB
5X zajszint = +7 dB
10X zajszint = +10 dB
20X zajszint = +13 dB
50X zajszint = +17 dB
100X zajszint = +20 dB
1000X zajszint = +30dB
stb.


sƑt:

1/2 zajszint = -3 dB
1/5 zajszint = -7 dB
1/10 zajszint = -10 dB
stb.

Élelmesebbek mĂĄr kiszĂșrhattĂĄk, hogy a dolog akkor is megbĂ­zhatĂłan stimmel, ha egy szorzĂĄst kĂ©t rĂ©szletben vĂ©gzĂŒnk el, pĂ©ldĂĄul az ötvenszeres szorzĂł 17-es Ă©rtĂ©ke akkor is kijön, ha ötször tĂ­zes szorzatkĂ©nt szĂĄmolom (7+10), de akkor is, ha 2X5X5-kĂ©nt (7+7+3). Állat, mi?

Mindezek utĂĄn nyakban kihĂ­vott barĂĄtunk mĂĄr maga is kĂ©pes belĂĄtni talĂĄn, hogy az 5 dB zajtĂșllĂ©pĂ©s körĂŒlbelĂŒl 3-4-szeres zajszintet jelent, nem 10-nĂ©l kevesebb %-ot. ÖrvendezzĂŒnk fennen, s lĂłbĂĄljunk kotorĂ©kebeket demonstratĂ­ve.

Tök jó érzés, hogy segíthettem.